DE LA EPISTEMOLOGÍA A LA ANTROPOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS

DE LA EPISTEMOLOGÍA A LA ANTROPOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS 

Todo este tipo de consideraciones teóricas han llevado a una definición mucho más general de la didáctica de las matemáticas: “ciencia de las condiciones específicas de la difusión (impuestas) de los saberes matemáticos o útiles a las personas y a las instituciones humanas” (Brousseau, 1994). De esta manera, se amplía la aplicación del campo de la didáctica de las matemáticas más allá del sistema escolar. 

Es decir: "... este paso, de la institución escolar a cualquier institución en la que se manipulen conocimientos matemáticos, con la consiguiente inclusión de los fenómenos de transposición didáctica, constituye la última de las ampliaciones de la problemática didáctica. Está generalización del objeto de investigación es, por tanto, otra de las aportaciones del enfoque antropológico y en relación a las primeras formulaciones de la didáctica fundamental." (Gascón, J. 1998) De igual forma, afirman un "enfoque antropológico en didáctica de la matemáticas" (Chevallard, 1992) o una antropología de las matemáticas que amplía la epistemología 

clásica de las matemáticas, al considerar no solo la producción de conocimientos (Chevallard, 1990). Se pasa, por ejemplo, del sujeto epistémico al sujeto didáctico (Artigue, 1990). La actividad matemática, entonces, se interpreta integrando la construcción de un sistema de conceptos, el uso de lenguaje y un proceso cognitivo. Esto hace que se incorporen enfoques que, se afirma, son parciales: epistemológicos, lingüísticos, psicológicos, sociológicos etc. Pero ya no como yuxtaposición de saberes con subordinación de las matemáticas, sino como parte de un proceso dirigido por los matemáticos (aquellos que hacen didáctica –que no son muchos-). Otro de los últimos desarrollos en esta aproximación es el que plantea que la matemática institucional se modeliza por medio de la noción de “obra matemática” (Chevallard, 1996). Ésta se plantea en los siguientes términos: "Podemos decir, en resumen, que la matemática institucionalizada y, en 

particular, la matemática escolar, se organiza en obras matemáticas que son conjuntos estructurados de objetos matemáticos que surgen como respuesta a ciertas cuestiones planteables en el seno de dicha institución. Las obras matemáticas son así el resultado final de una actividad matemática que, como toda actividad humana, presenta dos aspectos inseparables: la práctica matemática que consta de tarea (materializadas en tipos de problemas) y técnicas útiles para llevar a cabo dichas tareas, y el discurso razonado sobre dicha práctica que está constituido por dos niveles, el de las tecnologías y el de las teorías. Estos son, en definitiva, los elementos constitutivos de toda obra matemática." (Gascón, 1998) En este enfoque se dice que: “El objeto primario de investigación didáctica lo constituyen las actividades matemáticas institucionales que se modelizan mediante la noción de proceso de estudio de una obra matemática en el seno de una institución.” (Gascón, 1998). Esto lo reseñan Sierpinska y Lerman: “En desarrollos más recientes de la teoría, se ha propuesto pasar de la comparación de tipos diferentes de conocimiento (conocimiento del investigador matemático versus matemáticas escolares) a un dominio más amplio de comparación de diferentes tipos de prácticas sociales (Martinand, 1989, en Arsac, 1992). Chevallard (1991) se interesa por las relaciones entre la práctica social de la investigación en matemáticas y la práctica social de la enseñanza y aprendizaje institucionalizado de las matemáticas en la escuela. Diferentes pares de prácticas sobre las matemáticas han atraído la atención de otros investigadores. Por ejemplo, Lave (1988) y Waikerdine (1988) estudiaron la falta de congruencia entre el funcionamiento del pensamiento matemático en la escuela y en esferas extraescolares de prácticas tales como en la administración de la casa, crianza de los niños, y el trabajo.” (Sierpinska y Lerman, 1996) Es decir, encontramos aquí otra generalización o ampliación del campo de la didáctica. Esta idea de “proceso de estudio” es mayor o más ambiciosa que la de “proceso de enseñanza aprendizaje”. Aunque se afirma que para el “estudio de la obra matemática” el aprendizaje es el efecto buscado, la enseñanza se ve sólo como un medio establecido dentro de un proceso donde existen muchos otros (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997). Este proceso de estudio posee fases: un primer encuentro que es el que permite tomar conciencia de los objetos para el estudiante, un segundo momento exploratorio previo al pensamiento lógico como el pensamiento plausible en (Pólya, 1954), un tercer momento del trabajo de la técnica que conduce al dominio de las técnicas que anteriormente fueron exploradas (la resolución del problema matemáticamente) y, por último, momentos de institucionalización y evaluación, puesto que el estudio se realiza en una institución y debe haber un proceso de evaluación. Ahora bien, estas nociones de “obra matemática” y de “estudio”, parecieran ser una extrapolación de la misma didáctica escolar en varias cosas. Por ejemplo, los “momentos” del “estudio”, mencionados arriba, en realidad son muy semejantes a los pasos que se establecen en una estrategia de resolución de problemas: “visualización” inicial, exploración, resolución técnica matemática, evaluación y socialización (institucionalización). 

La noción de “ingeniería didáctica” propone una orientación metodológica con la ejecución de cuatro fases consecutivas (entre ellas un análisis a posteriori y evaluación, facilitando de esta forma una dimensión experimental vinculada directamente a una dimensión teórica). Gascón afirma que la didáctica de la matemáticas en esta aproximación francesa representa “un cambio progresivo de problemática” y un nuevo “programa de investigación”, siguiendo los términos usados por Lakatos (por ejemplo en Lakatos, 1978). Este es el momento pertinente para hacer un balance. Empecemos con las etapas en la Educación Matemática.

Método matemático frances

EL CARÁCTER ESPECÍFICO DE LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

La nueva didáctica fundamental introduce nuevos objetos de estudio, que si bien existían en el modelo clásico, sin embargo, no era objetos de estudio primario, simplemente se asumían como “transparentes”. “El marco teórico de la didáctica matemática francesa establece nuevos conceptos: por ejemplo, el de situación didáctica, cuya primera aproximación se formuló al principio de los años 70 (Brousseau, 1972 y, luego, como una teoría más desarrollada: Brousseau, 1994). La idea es definir conocimiento matemático mediante una situación que se llama fundamental. Entonces, el aprendizaje del conocimiento matemático en una escuela o una institución específica se establece a través de la noción de situación fundamental. Y aquí hay supuestos teóricos: “La hipótesis básica de la teoría de situaciones de Brousseau es que el conocimiento construido o usado en una situación es definido por las restricciones de esta situación, y que, por tanto, creando ciertas restricciones artificiales el profesor es capaz de provocar que los estudiantes construyan un cierto tipo de conocimiento. Esta hipótesis está ciertamente más próxima al constructivismo que a las aproximaciones que se derivan de la noción Vygostskiana de zona de desarrollo próximo.” (Sierpinska y Lerman, 1996) No está claro, como veremos adelante, que esta conexión con el constructivismo siempre se pueda establecer. Con base en esa idea, es posible establecer una línea de investigación que establezca las situaciones fundamentales para cada concepto matemático, con estudio de supuestos y condiciones epistemológicas, situaciones didácticas, experimentación, evaluación de las experiencias. Para realizar eso, se afirma la necesidad de “reconstruir los conceptos matemáticos” teóricos propiamente, para luego construir las situaciones relativas. En esto, pareciera sentirse la influencia de Lakatos con la propuesta de “reconstrucciones racionales” (Sierpinska y Lerman, 1996). De esta manera, a la vez, se busca ampliar drásticamente el objeto de estudio de la epistemología de las matemáticas. Por un lado, invocando aspectos sociales didácticos, y, por el otro, extendiendo la didáctica a otro tipo de instituciones. Es decir: ya no se refiere a una epistemología que clásicamente se orienta hacia la construcción del conocimiento matemático simplemente, sus conceptos y métodos teóricos, sino que se dirige a la "dimensión didáctica de los diferentes tipos de manipulación institucional de las matemáticas". Puesto en otros términos: se toma como objeto de estudio la actividad matemática en su conjunto en una institución, en donde intervienen otras variables socioacadémicas. 

Un segundo concepto en esta orientación es el que se da con la idea de “transposición didáctica” [entendida como el paso de un objeto de saber científico a un objeto de enseñanza, en otras palabras los cambios o transposiciones que presenta un conocimiento científico para ser enseñado en un aula, (Chevallard 1985 y 1991)], que aparece a mediados de la década de los 80. Una de las tesis fuertes asociadas a esto es la que afirma que “las diferentes formas de manipulación social de las matemáticas no pueden ser estudiadas separadamente” (Gascón, J. 1998). De igual manera, se afirma, que no se puede separar la creación y evolución de las matemáticas del estudio de la enseñanza y la utilización de éstas (Gascón, 1993). ¿Cuál es la motivación principal detrás de toda esta visión y cuál es la fuente de los nuevos conceptos? En esencia, se trata de no solo avanzar más allá de las perspectivas vagas o muy generales de lo que es didáctica (arte, o conjunto de técnicas) sino, como señalaba Gascón, de no ver esta disciplina como una yuxtaposición de saberes. Por ejemplo, una yuxtaposición de pedagogía, psicología, historia, etc. donde las matemáticas son simplemente un componente más (y a veces uno subordinado). La afirmación es clara, no puede haber una didáctica en general al margen de lo específico, o sea de las matemáticas: “Los conocimientos pueden aparecer en situaciones originales, pero los saberes culturales están asociados necesariamente a prácticas sociales que les sirven de referencia. Un corolario del postulado fundamental es que a situaciones diferentes les corresponden conocimientos diferentes. Por consiguiente, el saber nunca es exactamente el mismo para sus creadores, para sus usuarios, para los alumnos, etc., cambia. El estudio y el control de estas modificaciones, que nosotros llamamos transposición didáctica es el objeto principal de la teoría. Por tanto, lo único que se puede hacer es, en el mejor de los casos, modelizar las situaciones características de un saber, pero ya se dibuje una primera aportación de la didáctica.” (Brousseau, 1990) Colocar las matemáticas como un componente más genera una distorsión grave, por un lado coloca a los especialistas de las otras disciplinas no matemáticas en imposibilidad de intervenir sobre los temas que no saben (los contenidos matemáticos) y atrincherarse en sus formaciones. Brousseau es preciso: “Las vías de investigación que se favorecen naturalmente son pues las que reposan sobre la hipótesis de una vaga complementariedad en el seno de equipos pluridisciplinares, y que se expresan en un lenguaje común a todo el mundo; quedan excluidas, casi con toda certeza, las investigaciones sobre lo que es específico del conocimiento que se pretende, en beneficio de asuntos más generales. (Brousseau, 1991) Por otro lado: empuja a los matemáticos a encerrarse exactamente en los contenidos. “Los enseñantes y los especialistas de la disciplina en cuestión (aquí los matemáticos que enseñan en las facultades de educación, a los que, en algunos casos, se les ha llegado a llamar “fundamentalistas”) se ven conducidos entonces a minimizar el papel de toda teoría, a poner en primer plano el contenido puro o la experiencia profesional.” (Brousseau, 1991) La formación de los profesores es entonces un “embutido”: “La formación de los profesores se concibe como yuxtaposición de enfoques y de teorías independientes, cuya integración y utilización se deja a cargo de los propios profesores. En ausencia de una responsabilidad teórica y técnica sobre la enseñanza misma, cada investigación en «didáctica» fundada sobre una de las disciplinas conexas no tratará en el mejor de los casos más que uno de los aspectos de la cuestión y desembocará en advertencias, observaciones, análisis científicos lanzados al foro, señalando a los enseñantes. Estos reproches, de nula utilidad para los profesores, están destinados en realidad, muy a menudo, al público, y éste los transforma en exigencias impacientes, en picotas ideológicas y finalmente en críticas obsesivas de la enseñanza.” (Brousseau, 1991) Los profesores en formación se alejan de quienes producen matemáticas; y a la vez los matemáticos se alejan de los temas de la enseñanza. ¿A cuál perspectiva conduce esto? La didáctica de las matemáticas debe considerarse parte de las matemáticas: “La inclusión de la didáctica de las matemáticas en las matemáticas se justifica por los conocimientos esperados de la conexión de las estructuras correspondientes” (Brousseau, 1991). Para Brousseau ésta es la única opción para preservar la nueva disciplina y no subordinarse a las otras ciencias humanas (educación, historia, sociología etc.). Su posición es tajante: “La eficacia, la calidad y la coherencia de la enseñanza ganarían con ello, pero, sobre todo, se trata de reafirmar los lazos que se corre el riesgo de que no se anuden naturalmente y que son indispensables: es poco probable que los didactas puedan mantenerse por más tiempo a resguardo de las interpelaciones de las ciencias humanas o del medio que pretenden tratar; por el contrario, nada concreto atrae verdaderamente a la comunidad matemática a tratar seriamente y con respeto sus problemas epistemológicos, sociológicos y morales mediante la didáctica. Hace falta, al menos por ahora, que los didactas estén en la comunidad matemática porque a ella es a la que deben hablar y sobre ella deberán actuar finalmente. ¡Que los matemáticos los controlen, de acuerdo, pero que no puedan desembarazarse de la responsabilidad de su acción, sea cual fuere la suerte que les reserven!” (Brousseau, 1991) Brousseau prefiere que los didactas estén en las escuelas de matemática a que estén en otras organizaciones como las facultades de educación. Parece olvidarse, si embargo, que cuando los matemáticos buscaron intervenir en la educación (como con la reforma de las Matemáticas Modernas) provocaron bastantes “daños” (Ruiz, 2000). Ya comentaremos esta propuesta más adelante. Por supuesto, se busca también que los matemáticos asuman la didáctica como una tarea intrínseca a sus quehaceres. No solo debido a que para hacer didáctica hay que poseer dominio de las matemáticas, sino especialmente porque la transposición didáctica es parte de su práctica: “Reorganizar su pensamiento para comunicarlo, o para enseñarlo, elegir lo que va a convencer, lo que va a ser útil, etc., constituye una parte importante de la actividad de los productores de matemáticas; pero reorganizar las matemáticas para enseñarlas y para favorecer nuevas investigaciones es una competencia esencial de la propia investigación Es un acto de matemático que es un efecto, controlado o no, también del trabajo del enseñante. No es posible ya a los matemáticos controlar esta transposición didáctica sobre la base de una transparencia ilusoria. La complejidad de los fenómenos les obliga a ejercer esta fase esencial de su actividad colectiva con la ayuda de los medios nuevos y apropiados que propone la didáctica. Por todas estas razones, la didáctica de las matemáticas forma parte de las matemáticas, incluso si la organización actual de los conocimientos, profundamente estructuralista, no le puede reservar un sector en el sentido clásico. (Brousseau, 1991) Es decir: no solo se asume que todo fenómeno didáctico posee un componente matemático esencial (lo que hacía necesario convertir las prácticas matemáticas escolares en objeto primario de investigación), sino que todo fenómeno matemático tiene un componente didáctico esencial. Hay otros conceptos relevantes como los de obstáculo didáctico y campo conceptual que nos permitirán completar esta breve reseña. En relación con el primero: “Un obstáculo es una concepción que ha sido en principio eficiente para resolver algún tipo de problemas pero que falla cuando se aplica a otro. Debido a su éxito previo se resiste a ser modificado o a ser rechazado: viene a ser una barrera para un aprendizaje posterior. Se revela por medio de los errores específicos que son constantes y resistentes. Para superar tales obstáculos se precisan situaciones didácticas diseñadas para hacer a los alumnos conscientes de la necesidad de cambiar sus concepciones y para ayudarles en conseguirlo.” (Godino, 2003) Los campos conceptuales emergen debido a que las situaciones didácticas no se pueden analizar solamente con un concepto. Entonces, un campo conceptual refiere a varios conceptos, métodos y formas de representación. Por ejemplo, las estructuras multiplicativas, las aditivas, etc.